지연 내용이나 경위 등을 정확히 알기 어려워 본문에 언급하신 내용만으로 설명 드리겠습니다.

공항에 나와서 14시간 이상 대기.

이 부분은 중간 경유지에서 어떤 이유든 연결 항공편이 지연된 것으로 추정됩니다. 지연 사유에 따라 달라지겠습니다만 미국의 경우 유럽 등과는 달리 항공기 지연 만으로 보상의 대상이 되지는 못합니다. 물론 이로 인한 교통비나 숙박비 등이 발생했다면 지연 사유 즉 항공사의 책임이 있다는 전제 하에 보상이 가능합니다.

수하물은 직접 한국으로 배송

이것은 어떤 경우인지 쉽게 판단이 되질 않습니다. 아예 처음 출발지부터 짐이 실리지 않았다는 것으로 이해가 되고 승객만 먼저 한국행 항공편에 탑승하고 짐은 나중에 보내주겠다라는 것 같은데요.

이 경우에는 수하물 지연 보상 정도를 요구할 수 있습니다.

그리고 매번 찾아야 하는 번거로움이라는 것이 한국, 인천공항에 가서 직접 짐을 찾는 것을 의미하는 것인지요? 굳이 그럴 필요는 없습니다. 택배 등으로 집까지 배송받으시면 되고요.

그게 아니고 짐을 여정 중간에 매번 찾아야 한다는 경우라면 미국 국내선-국제선으로 연결시에는 짐을 최초 출발지에서 부치면 되므로 승객은 국제선 최초 도착지, 이 경우에는 인천공항 정도가 될 듯 한데요 거기서 찾을 수 있습니다.

조금 더 구체적인 설명이 있으면 해당하는 사항을 중심으로 설명 드릴 수 있지만 현재 확인된 정보만으로는 두리뭉실하고 원칙적인 답변만 드릴 수 있는 점 양해 바랍니다.